Библиотечный каталог авторефератов Украины

Значення отриманого поля, збурені 5%-ним шумом, служать вхідними даними для вирішення оберненої задачі. Під час тестування вивчено  чисельну збіжність другого рівнян­ня системи (7) (рис. 1) та поведінку інтегральних ядер (6). Останні нері­внозначні за точністю і швидкодією Працездатність алгоритмів (16), (18) проілюстровано на модельних прикладах з параметрами: довжи­на профілю ; крок , коливання контакту ; пе­репад густин ; апріорна глибина контакту ; амплітудні величини ; ; .

Тестування здійснено так: для заданих точних розв’язків і ядер розраховують аналітично або чисельно праві частини , потім вносять в них випадкові похибки (нормальний розподіл), а точні ядра замінюють наближеними тієї ж гладкості з точністю . З цими даними вирішено два модельні приклади:

  1. Модельне рівняння , точний розв’язок , точне ядро , при цьому , , порядок регу­ляризації – нульовий (гладкі функції контакту, правої частини, їх майже однакова ефективна ширина)

  2.  Все те саме, але точне ядро , що означає  внесену похибку оператора (тобто %). За такої похибки складно знайти шукану функцію .

Ітерації закінчують по досягненні заданої середньоквадратичної нев’язки чи по виконанні за­даної кількості кроків ітерації. Похибки отриманих розв’язків не перевищують заданих неточностей  поля. Здійснено порівняння розроблених в роботі і відомих класичних алгоритмів Чорної, Нумерова, Маловичка. Більша ефективність алгоритмів Лаврентьєва-Андреєва, Лаврентьєва-Чорного порівняно з класичними схемами зумовлена кращим ступенем обумовленості систем алгебраїчних рівнянь. Чи­сельні експерименти виявили, що запропонований алгоритм (16) переважає за точністю розв’язок (2) Чорної майже удвічі, а (20)  майже утричі. Реалізація ітерацій на основі рівнянь (8) і (9) дозволяє до­сягти таких же результатів за вдвічі меншого обсягу обчислень. Окремі здобутки в цьому плані ілюс­трує рис. 2. Дослідження мають перш за все теоретичний інтерес, але алгоритми можна застосувати у складі автоматизованих систем для моделювання і експрес-аналізу гравіметричних даних на мало­вивчених територіях з неускладненою будовою.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ                                                             

У дисертації наведено теоретичне узагальнення і нове вирішення оберненої задачі потенціалу для контактної границі в лінеаризованій постановці. Головні наукові і практичні досягнення роботи:

1°. Описано математичну модель задачі відновлення контакту на класі Нумерова за вертикаль­ними похідними логарифмічного потенціалу у вигляді розв’язків лінеаризованих інтегральних рів­нянь Фредгольма 1-го роду. В їх узагальнених модифікаціях усунута залежність розв’язків від апріорі невідомого параметра – середньої глибини до контакту. Доведено існування і єдиність розв’язків на компактному класі єдиності . Модель задачі поширюється на магнітоактивні контакти.

2°. Доведено, що відомі алгоритми, які базуються на виразах з інтегральним ядром Пуассона, не забезпечують прийнятної точності відновлення контакту за полем, заданим на коротких профілях, які властиві практиці спостережень. Для випадку задання значень поля на істотно короткому профі­лі для визначення контактної границі запропоновано кілька алгоритмів, що базуються на інтегра­льних рівняннях із швидкозбіжним ядром типу Шварца. На основі рівнянь з ядрами Пуассона і Шва­рца введено два різних типи задач для відновлення контакту (з параметром та без нього). Вивчено структуру класу єдиності зазначених рівнянь. Доведено умовну коректність контактної задачі.

3°. Для розв’язання рівнянь кожного типу задач запропоновано збіжні ітераційні процеси Лаврентьєва-Андреєва (16) і Лаврентьєва-Чорного (20) та їх узагальнені аналоги (18) і (22). Практич­ною перевагою ітерацій (20), (22) є швидша збіжність та можливість задання значень контакту на ко­роткому профілі. Збіжність усіх ітерацій обґрунтовано за новим способом, що базується на еквіва­лентному зображенні підінтегральних виразів в ітераційних процесах через узагальнені функції.

4°. В ході дослідження вищезгаданих ітерацій поліпшено ітераційні способи уточнення нуме­рівського наближення контакту, запропоновані свого часу Андреєвим, Малкіним і Сеньком та запро­поновано новий спосіб Нумерова-Маловичка і обґрунтовано стійкість уточнень. Ці способи можна використати для аналітичних апроксимацій поля в автоматизованих системах інтерпретації.

   5°. Надійне визначення контакту на довгих профілях забезпечене ефективним способом екст­раполяції значень поля за межі профілю (на основі розкладення вищих похідних відомого інтеграла Пуассона у ряд Тейлора), який зведено до розв’язання лінійного рівняння 1-го роду (19).

6°. Для підвищення надійності обчислень запропоновано ефективний спосіб прискорення  збіжності ітерацій на підставі математичних характеристик їх збіжності. 

7°. Для чисельного вирішення задачі розроблено регуляризуючі алгоритми на базі концепції регуляризації Тихонова. Модернізовано знаходження оптимального параметра регуляризації , міні­мізовано похибки округлень. Створено пакет програм і перевірено на тестових задачах. Порівняння чисельних розв’язків довело перевагу алгоритму (20) над алгоритмом (16). Досягнута точність розв’я­зку при похибках прямого оператора і спостережень задовільна для прак­тичних застосувань.

Основні положення дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Дослідження оберненої задачі потенціалу для контактної поверхні // Геофіз. журн. – 2002. – 24, № 3. – С. 77-92 (співавтор А.В. Чорний).
2. До теорії структурної задачі гравіметрії в комплексній площині // Доп. НАН України. – 2002, № 4. – С. 145-149 (співавтор А.В. Чорний).
3. Відновлення контактної границі в шаруватому середовищі // Геофіз. журн. – 2002. – 24, № 6. – С. 36-41.
4. Уточнення деяких способів наближеного визначення контактної межі // Доп. НАН України. – 2002, № 12. – С. 99-103 (співавтор А.В. Чорний).
5. Линейная граничная задача восстановления контакта по значениям поля, заданного на сущест­венно ограниченных множествах // Вопросы теории и практики геологической интерпретации грави­тационных, магнитных и электрических полей: Материалы 28-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского, Киев, 29 января – 2 февраля 2001 г. – Москва: ОИФЗ РАН, 2001 г., – С. 35-36.
6. Про структурну задачу гравіметрії // Геофізичний моніторинг небезпечних геологічних проце­сів та екологічного стану геологічного середовища: Матеріали ІІ-ої Міжнародної конференції для молодих вчених, Київ, 8–10 жовтня 2001 р. – Київ: Видавництво КУ, 2001 р., – С. 60-61 (співавтор А.В. Чорний).

Дубовенко Ю.И. Определение контактной границы по значениям производных логари­фмического потенциала на существенно ограниченных множествах. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специа­льности 04.00.22  геофизика. – Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена разработке теории и алгоритмов решения задачи восстановления контактной границы при условии, что поле представлено значениями производных логарифмичес­кого потенциала, заданными как на неограниченных так и на существенно ограниченных профилях. Исследованы основные математические модели обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности. Отмечено, что параметрическая зависимость решения задачи от плотности активного слоя и от средней глубины или асимптоты контакта есть следствие рассматриваемых мо­делей слоистой среды, а не принципиальной характеристикой задачи для неограниченных тел в отличие от задачи для тел ограниченных. В случае поля первого типа предложены эффективные схе­мы экстраполяции значений поля за пределы профиля и ускорения сходимости итерационных про­цессов Для поля, заданного на ограниченных множествах, обоснован ряд предложенных способов восстановления контактной границы как граничных функций последовательностей решений линей­ных интегральных уравнений первого рода с компактными операторами, имеющими быстро спадаю­щие интегральные ядра типа Шварца. Установлена корректность решения полученных уравнений на специально введенном классе Нумерова и разработан регуляризирующий алгоритм с повышеной численной устойчивостью. Осуществлена серия численных экспериментов для изучения влияния погрешностей на дискретные аналоги полученных алгоритмов.

Ключевые слова: логарифмический потeнциал, контактная граница, обратная задача грави­метрии, интегральное уравнение, регуляризирующий алгоритм, итерация, ускорение сходимости, приближение.

Дубовенко Ю.І. Визначення контактної границі за значеннями похідних логарифмічного потенціалу на істотно обмежених множинах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальні­стю 04.00.22  геофізика. – Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України, Київ, 2004.

Дисертація присвячена розробці теорії та алгоритмів розв’язання задачі відновлення контакт­ної границі за умови, що поле представлено значеннями похідних логарифмічного потенціалу, зада­ними як на необмежених так і на істотно обмежених профілях. В разі поля першого типу запропоно­вано ефективні схеми екстраполяції значень поля за межі профілю та прискорення збіжності ітера­ційних процесів Для поля, заданого на обмежених множинах, обґрунтовується ряд запропонованих способів відновлення контактної границі як граничних функцій послідовностей розв’язків лінійних інтегральних рівнянь першого роду з компактними операторами, що мають інтегральні ядра типу Шварца, які швидко спадають. Встановлено коректність розв’язання отриманих рівнянь на спеціаль­но введеному класі Нумерова та розроблено регуляризуючий алгоритм з підвищеною чисельною стійкістю.

Ключові слова: логарифмічний потeнціал, контактна границя, обернена задача гравіметрії, інтегральне рівняння, регуляризуючий алгоритм, ітерація, прискорення збіжності, наближення.

Dubovenko Yu.І. Соntact interfaces definition  by the inversion of the logarithm potential deri­vatives given on the essentially restricted sets. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by speciality 04.00.22  geophysics. – Institute of Geophysics named after S.I. Subbotin, NASU, Kyiv, 2004.

The theses for a candidate’s degree are devoted to development of a theory and algorithms concerned with the problem for contact interface recovery provided that the gravity field is represented by the logarithm potential derivatives values given as on the infinited profiles as on the essentially restricted ones. In case of first type field the effective schemes for field values extrapolation beyond the profile limits and acceleration of iteration convergency have been proposed. As for the field, received on the restricted sets, for the contact border renovation the series of methods proposed treated as limit functions of the succession of the solutions of 1st kind linear integral equations with compact operators having the fast decreasing integral cores of Schwarz’s type are substantiated. A correctness of received equations solutions is established on the specially introduced Numerov class and regularising algorithm with enforced numerical stability is worked out.

Key words: logarithm potential, contact interface, gravity inversion, integral equation, regularising algorithm, iteration, convergency acceleration, approximation.