Библиотечный каталог авторефератов Украины

Одеський національний політехнічний

університет

Шендрик Євген Валентинович

УДК 681.267

ІНФОРМАЦІЙНА модель ОЦІНКИ маси ОБ'ЄКТА при

ОБМЕЖЕНОМУ часі зважування

Спеціальність 05.13.06 — Автоматизовані системи управління та прогресивні

інформаційні технології

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Одеса — 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Одеському національному політехнічному університеті, Міністерство освіти і науки України, на кафедрі “Комп’ютерні інтелектуальні системи та мережі”

Науковий керівник:                кандидат технічних наук, доцент

Копитчук Микола Борисович,

Одеський національний політехнічний університет, завідувач кафедри комп’ютерних інтелектуальних систем та мереж

Офіційні опоненти:                        доктор технічних наук, доцент

Денисенко Володимир Анатолійович,

Одеський національний політехнічний університет, професор кафедри комп’ютерних систем

кандидат технічних наук, доцент

Литвиненко Володимир Іванович,

Херсонський державний технічний університет, доцент кафедри інформаційних технологій

Провідна установа:                Інститут проблем реєстрації інформації НАН

України, відділ цифрових моделюючих систем,

м. Київ

Захист відбудеться “ 22 ”  травня  2003р. о 13 30 год. на засіданні спеціалізованої Вченої Ради Д 41.052.01 в Одеському національному політехнічному університеті за адресою: 65044, м. Одеса, проспект Шевченка, 1

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеського національного політехнічного університету за адресою: 65044, м. Одеса, проспект Шевченка, 1

Автореферат розісланий “ 17 ”  квітня  2003р.

Вчений секретар

спеціалізованої Вченої Ради                                                        Ю.С. Ямпольський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Динамічний розвиток автоматизованих систем управління та прогресивних інформаційних технологій у напрямку створення інтелектуальних засобів обробки інформації, зокрема, таких як методи побудови інформаційних моделей процесу, що автоматизується, обумовлює їх активне впровадження на всіх стадіях розробки й удосконалення автоматизованих систем вимірювання маси. Забезпечення автоматизації проведення процесу вимірювання, обробки отриманої інформації та подальше її накопичування, збереження й використання для задоволення інформаційних потреб залізничних або інших служб — основне призначення автоматизованих ваговимірювальних систем.

Автоматизований облік вантажопотоків, переміщуваних між регіонами країни або при перетинанні її державного кордону, є однією з найважливіших задач вирішуваних сьогодні. Відомо, що Україна володіє вельми розвиненою структурою залізничних магістралей, що зв’язують регіони країни, а також прикордонні держави, яких завдяки її геополітичному розташуванню виявляється досить багато. Тому своєчасне отримання вимірювальної інформації, що відбиває кількість перевезень, а також масу переміщуваного вантажу, формування єдиної інформаційної мережі вимірювань дозволить оптимально врегулювати напрямок перевезень, здійснити контроль втрат вантажів (особливо сипучих) при переміщуванні між станціями, а також, що є дуже важливим, задовольнити інформаційні потреби залізничних служб, які забезпечують контроль та цілісність залізничних магістралей.

Дана задача була поставлена ще за часів СРСР, однак і досі не була вирішена остаточно, оскільки забезпечити процес зважування за короткий час, а це означає відсутність простою вантажу і, як наслідок, відсутність матеріальних збитків, досі не вдалося. Існуючі на сьогоднішній день автоматизовані ваговимірювальні системи не можуть забезпечити необхідну точність вимірювань на високій швидкості, оскільки використовувані в них засоби зменшення завад вимагають для необхідної точності неприпустимо низьку швидкість руху потягу. В умовах, коли мова йде про контроль спрацювання залізничних магістралей, факт матеріальних утрат при зважуванні дуже неприйнятний. Тому нове вирішення науково-практичної задачі побудови інформаційної моделі вимірювання маси об’єкта при обмеженому часі зважування, визначення на її основі інформативного параметра — маси об’єкта, є дуже актуальним у цей час.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дана дисертаційна робота проведена відповідно до затвердженого Міністерства освіти України тематичним планом науково-дослідних робіт Одеського національного політехнічного університету (тема № 326-62 “Апаратно-програмні засоби автоматизованих систем”)

Крім того, дослідження проводилися в рамках госпдоговірних робіт:

1. 1271-139/62 “Исследование и разработка интеллектуальных информационных измерительных и управляющих систем промышленного назначения”;

2. 1338-139/62 “Исследование и разработка аппаратно-программных компонентов интеллектуальных информационных измерительных систем”;

3. 1370-139/62 “Дослідження та розробка апаратно-програмних засобів для електронно-тензометричних систем”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є скорочення часу зважування при незмінній точності вимірювань шляхом побудови об’єктно-орієнтованої інформаційної моделі процесу зважування.

Відповідно до поставленої мети в роботі вирішуються наступні задачі:

— дослідження взаємодії об'єкта, що зважується, з автоматизованою ваговою платформою з метою отримання об’єктно-орієнтованої моделі процесу зважування;

— дослідження існуючих та розробка нових методів оцінки параметрів отриманої об’єктно-орієнтованої моделі для виявлення найкращого, з точки зору витрат часу та точності, методу побудови інформаційної моделі процесу зважування;

— вивчення можливості підвищення завадостійкості обраного методу розв’язання задачі, проведення досліджень з метою розробки найкращого апаратно-програмного забезпечення для реальних умов вимірювань;

— розробка методу та засобів побудови інформаційної моделі оцінки маси об’єкта при обмеженому часі зважування як базової компоненти апаратно-програмного комплексу автоматизованої ваговимірювальної системи.

— експериментальна перевірка запропонованих підходів побудови інформаційної моделі процесу автоматизованого зважування для оцінки інформативного параметра — маси об'єкта, що рухається з підвищеною швидкістю; проведення зіставлення теоретичних і натурних результатів; відпрацьовування методики експерименту й обробка результатів.

Об'єктом дослідження є інформаційні процеси, що відбуваються в автоматизованій ваговимірювальній системі при зважуванні об’єктів, які рухаються з підвищеною швидкістю.

Предмет дослідження — методи і алгоритми побудови інформаційної моделі вимірювання маси об’єкта при обмеженому часі зважування.

Методи досліджень — базуються на теорії оцінювання, чисельних методах аналізу, математичної статистиці, оцінки похибок моделювання. Для дослідження процесу виміру, а також дослідження прийнятності запропонованих методів до розв’язання поставленої задачі використовувалося комп'ютерне моделювання.

Наукову новизну дисертаційної роботи складають:

• вперше розроблено метод побудови інформаційної моделі оцінки маси об’єкта при обмеженому часі зважування, який має високу точність та швидкодію за рахунок введення обмежень на величину отриманого значення постійної складової сигналу та використання формул заміни циклічних операцій.
• запропоновані нові ефективні методи підвищення завадостійкості методу заданого діапазону частот шляхом його доповнення методами подвійного інтегрування вхідного сигналу або вагової функції, які знижують вплив високочастотних завад при автоматизованому вимірюванні маси рухомих об’єктів;
• вперше на базі нової об’єктно-орієнтованої моделі зважування вагонів у русі розроблено метод заданого діапазону частот, який шляхом послідовного перебору частот із заданого діапазону визначає оцінки інформативних параметрів тензометричних сигналів для побудови інформаційної моделі процесу автоматизованого зважування об’єктів у русі;

Практичне значення одержаних результатів. Практична цінність дисертаційної роботи полягає у створені апаратно-програмних засобів, що призначені для автоматизованого обліку вантажопотоків на залізничних магістралях, які мають високу точність та швидкодію при зважуванні на високій швидкості руху. Крім того, запропоновані методи та алгоритми можуть знайти застосування при розв’язанні різних задач у радіотехніці, математичній статистиці, аналітичних задачах.

Практичні результати дисертаційної роботи впроваджені в ТНВЦ “ТОМ” при розробці “Терезів вагонних рейкових електромеханічних для повісного зважування вагонів у русі — 2046 ВВР-200Е”, а також “Терезів вагонних електромеханічних — 2309 ВВ-50Е/1Д”. Теоретичні положення впроваджені у навчальний процес кафедри “Комп’ютерні інтелектуальні системи та мережі” ІКС ОНПУ при читанні лекцій із дисципліни “Аналогові та гібридні ЕОМ”. Впровадження результатів підтверджується відповідними актами.

Особистий внесок автора. Всі основні результати дисертаційної роботи отримані автором особисто. У роботах опублікованих в співавторстві автору належать такі ідеї та розробки:

• запропоновано метод заданого діапазону частот для оцінки параметрів тензометричних сигналів з усіченою періодичною завадою для задачі повісного зважування залізничних вагонів, які рухаються з підвищеною швидкістю; проведене комп'ютерне моделювання з метою порівняння похибки запропонованого методу і похибки отриманої шляхом простого усереднення значень сигналу [1];
• запропоновано модифікований метод заданого діапазону частот для зважування вагонів у русі, розглянуті засоби підвищення продуктивності зазначеного методу; проведені комп'ютерні експерименти, що демонструють зручність використання запропонованого методу для оцінки параметрів сигналу представленого постійною складовою сигналу і двома періодичними завадами [6];
• запропоновано використовувати в системі базисних функцій методу заданого діапазону частот вагову функцію, з метою зниження похибки оцінки постійної складової сигналу; проведене комп'ютерне моделювання, що демонструє перевагу використання вагової функції [2, 3];
• запропоновано робити попереднє інтегрування досліджуваного сигналу, з метою зниження похибки оцінки постійної складової сигналу; проведене комп'ютерне моделювання, що підтверджує перевагу застосування запропонованого методу [3, 5, 7].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційних досліджень доповідалися на міжнародній науково-практичній конференції “СИЭТ 2000” (м.Одеса, 2000р.), науково-методичної конференції “ИНФОТЕХ — 2000” (м.Севастополь, 2000р.), міжнародній конференції по управлінню “АВТОМАТИКА — 2001” (м.Одеса, 2001р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 7 наукових працях, 5 з яких входять до переліку фахових видань ВАК України.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 128 сторінок і містить 7 додатків на 13 сторінках, 21 рисунок та 5 таблиць. Список використаних джерел складається з 83 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані основна мета і задачі досліджень, зазначено зв'язок з науковими програмами, планами і темами, охарактеризовані наукова новизна і практичне значення одержаних результатів, приведена інформація про впровадження результатів роботи, їхню апробацію і публікації.

У першому розділі проведені огляд та аналіз методів і засобів виміру маси об'єктів у русі. Проведено огляд методів і засобів обробки сигналу в умовах обмеженого часу спостереження. Показано, що при підвищеній швидкості руху об'єкта, спостереженню підлягає усічена гармонічна компонента сигналу, наслідком чого є неприйнятність використання класичних методів визначення маси об'єкта, що рухається, основою котрих є усереднення значень вхідного сигналу. Пропонується як розв’язання поставленої задачі використовувати методи оцінки шуканих параметрів сигналу. Формулюються критерії оцінки процесу зважування. Ставляться мета і задачі наступних досліджень.

В другому розділі досліджено характеристики динамічних явищ, виникаючих у процесі зважування, на підставі чого одержана нова об’єктно-орієнтована модель сигналу отриманого з датчиків автоматизованої вагової платформи при проведені вагових вимірювань.

Доведено, що приведена об’єктно-орієнтована модель сигналу адекватна узагальненої моделі процесу зважування і представлена сукупністю трьох складових

       f(t) = D + A sin(Ωt + ψ) + ,        (1)

де        f(t) — досліджуваний тензометричний сигнал;

D — постійна складова сигналу (інформативний параметр, відповідний масі об’єкта, що зважується);

A sin(Ωt + ψ) — низькочастотна періодична складова сигналу;

— випадкова величина, що виникає під час зважування.

При цьому періодична завада представлена амплітудою — A, частотою — Ω і початковою фазою — ψ. Крім того, досліджуваний сигнал представлений сукупністю рівномірно розподілених у часі відрахунків ti+1 – ti = ti – ti – 1 = Δt, де , n + 1 = N — кількість значень сигналу.

Слід зауважити, що при довжині вагової платформи обмеженої 1,5 м, нижчої частотою коливань вагону 3 Гц та максимальній швидкості руху потягу 40 км/г тривалість вимірювального сигналу складає трохи більше чверті періоду низькочастотної періодичної складової сигналу. Тобто час спостереження сигналу — Tн менше періоду завади Тп, Тн < Тп. Таким чином, розглядається випадок, коли періодична складова сигналу представлена менш чим одним періодом, а саме .

На підставі зазначених умов виміру потрібно побудувати інформаційну модель, що відбиває не тільки характер поводження сигналу, але й оцінку внеску кожної із складових сигналу в результуючий вихідний сигнал.

Відповідно до цього задача зведена до пошуку найбільш ефективного методу побудови інформаційної моделі процесу зважування, спрямованого на визначення оцінок інформативних параметрів приведеної об’єктно-орієнтованої моделі (1), зокрема, маси об’єкта — D, при заданих обмеженнях.

Дослідження показали, що особливої уваги заслуговують наступні методи:

• метод заданого діапазону частот;
• методи нелінійної регресії.

Показано, що метод заданого діапазону частот має високу точність оцінок досліджуваної моделі (1).

В основі цього методу лежить метод апроксимації узагальненим поліномом методом найменших квадратів. Однак метод заданого діапазону частот різниться від вказаного тим, що має визначену систему базисних функцій, що відповідає моделі (1). Крім цього для відшукання інформативного параметру сигналу використовується послідовний перебір частот із заданого діапазону. Метод базується на критерії найменших квадратів, тому найкращим вважається той результат, середньоквадратична похибка котрого прийме найменше значення.

Апроксимація узагальненим поліномом методом найменших квадратів, яка лежить в основі методу заданого діапазону частот, полягає у відшуканні серед поліномів m-го ступеня, m ≤ n

       Pm(t) = a0φ0(t) + a1φ1(t) +…+ amφm(t)        (2)

такого, для якого справедливий вираз

               (3)

де        a0, a1,…, am — коефіцієнти узагальненого апроксимуючого полінома;

φ0(t), φ1(t),…,φm(t) — задана система базисних функцій;

S — середньоквадратична похибка відхилення апроксимуючого полінома (2) від заданої функції f(t).

Шукані коефіцієнти a0, a1,…, am полінома (2) визначаються із системи лінійних алгебраїчних рівнянь, вирішивши яку і підставивши знайдені значення a0, a1,…, am в (2), при відповідних базисних функціях, одержимо шуканий узагальнений апроксимуючий поліном.

У методі заданого діапазону частот проведення апроксимації здійснюється декілька разів, постійно змінюючи величину частоти заданих базисних функцій в межах заданого діапазону частот.

Застосувавши к моделі (1) тригонометричні формули A sin(Ωt + ψ) = A sin ψ cos Ωt +
+ A cos ψ sin Ωt , де A1 = A sin ψ = const; A2 = A cos ψ = const, визначаємо систему базисних функцій φ0(t), φ1(t),…,φm(t), обмеживши при цьому ступінь апроксимуючого полінома m = 2. При цьому зауважимо, що модель D + A1 cos(Ωt) + A2 sin(Ωt) повністю адекватна моделі (1), різницею є тільки інший запис моделі (1), більш сприятливий для її дослідження запропонованим методом. Таким чином система базисних функцій приймає вид

               (4)

Згідно (4), постійній складовій D відповідає функція φ0(t), а періодична складова представлена сукупністю функцій φ1(t), φ2(t).

Подальші обчислення зводяться до визначення коефіцієнтів a0, a1,…, am таких, для яких величина (3) мінімальна. Алгоритм цих обчислень являє собою ітераційний процес і зводиться до побудови деякої множини апроксимуючих кривих у заданому частотному діапазоні [Ωmin,…,Ωmax], із кроком ΔΩ.

На основі отриманих коефіцієнтів a0, a1,…, am визначаються значення постійної складової сигналу і складових періодичної завади, припускаючи, що найкраща апроксимація (S ≈ 0) була досягнута на j-й ітерації

       , , , Ω = Ωmin + jΔΩ.        (5)

Проведено дослідження методів нелінійної регресії: метод лінеаризації моделі процесу (метод Гауса), метод Ньютона, метод Маркуардта і метод найшвидшого спуску, з метою виявлення ефективності їхнього використання до розв’язання поставленої задачі. Виявлено, що найкращим з розглянутих є метод Ньютона, який має найвищу точність, швидкість збіжності і найбільшу стійкість до вибору початкових умов у порівнянні з розглянутими методами. Показано, що ні метод Ньютона, ні інші методи нелінійної регресії не можуть застосовуватися для задачі проведення вагових вимірів при високій швидкості руху. Насамперед це зв’язано з тим, що розглянута модель сигналу має декілька локальних і тільки один глобальний мінімум функції середньоквадратичного відхилення (рис. 1), який приводить до точного результату. Як правило, в умовах обмеженого часу зважування, коли досліджуваний сигнал представлений чвертю періоду, пошук оптимальних оцінок приводить до влучення в область локального мінімуму, що в остаточному підсумку дає невірні результати і вказує на неприйнятність використання методів нелінійної регресії для розв’язання поставленої задачі.

Рис. 1. Функція середньоквадратичного відхилення з одним глобальним і декілька локальних мінімумів

Приведено порівняльний аналіз методів (табл. 1). Крім того, розглядається можливість використання кожного із методів для проведення вагових вимірів у різних умовах зважування і можливість їхнього впровадження у вже існуючі вагові комплекси з метою підвищення точності визначення інформативного параметру сигналу.

Таблиця 1

Загальний порівняльний аналіз приведених методів

Відповідно до даних табл. 1 зроблені висновки:

• методи нелінійної регресії мають великий потенціал при проведенні вагових вимірів із швидкістю руху об'єкта, що зважується, до 15 км/г, однак реалізація методів дуже складна, що вимагає їх доробки з ціллю забезпечення проведення вагових вимірів у реальному масштабі часу;
• метод заданого діапазону частот є єдиним прийнятним методом оцінки інформативного параметру сигналу при обмеженому часі зважування в реальних умовах, здатним визначати шукану величину, як при низькій, так і високій швидкості руху об'єкта, що зважується, забезпечуючи високу точність вимірювань.

Таким чином, на підставі проведених досліджень та висновків даного розділу розв’язання першої підзадачі можна вважати виконаним.

Третій розділ присвячений розробці методів, що підвищують завадостійкість методу заданого діапазону частот при розв’язанні задачі оцінки маси об’єктів при обмеженому часі зважування. Показано, що в деяких випадках похибка запропонованого методу може значно перевищити похибку, отриману шляхом усереднення значень сигналу. Встановлено, що причиною подібних випадків є несприятливий розподіл випадкового шуму, що у силу малої тривалості досліджуваного сигналу значно відхиляє апроксимуючу криву від реального значення представленого постійної складової і низькочастотною періодичною завадою, що у свою чергу приводить до помилкових оцінок параметрів. Виявлено, що вплив випадкового шуму особливо гостро виявляється на граничних ділянках досліджуваного сигналу.

У якості методів підвищення завадостійкості методу заданого діапазону частот стосовно до поставленої задачі запропоновано використовувати:

• метод подвійного інтегрування;
• метод вагової функції;
• метод воріт.

Метод подвійного інтегрування заснований на дослідженні реальних сигналів і припускає аналіз випадкового шуму у виді тригонометричного ряду

       = A1 sin(Ω1t + ψ1) + A2 sin(Ω2t + ψ2) +…+ Am sin(Ωmt + ψm)        (6)

у якому величини амплітуд А1, А2, ..., Аm як мінімум на порядок менше, а величини частот
Ω1, Ω2, ... ,Ωm як мінімум, на порядок більше відповідних величин сигналу (1).

Запропоновано двічі проінтегрувати сигнал (1), підставивши замість вираз (6). Інтегрування проводиться двічі по двох причинах. Однократне інтегрування недостатньо забезпечує подавлення випадкового шуму, і, як наслідок, не дає бажаного збільшення точності вимірів. При багаторазовому інтегруванні виникає похибка алгоритму чисельного інтегрування, що приводить до зниження точності одержуваного результату. Таким чином, двічі проінтегрований сигнал має вид

               (7)

Як видно з (7), після дворазового інтегрування величина амплітуди кожної із складових сигналу ділиться на квадрат її частоти. З урахуванням того, що величини амплітуд шуму (6) на порядок менше, а величини частот на порядок більше відповідних величин сигналу (1), отримуємо істотне подавлення високочастотних складових сигналу. Подальший хід обчислень зводиться до використання методу заданого діапазону частот. При цьому пропонується нова система базисних функцій

Крім того, пропонується змінити спосіб обчислення оцінок шуканих параметрів сигналу (1):

, Ω = Ωmin + jΔΩ, , .

Показано, що запропонований підхід дозволяє досягти десятикратного збільшення точності вимірів при малій тривалості досліджуваного сигналу.

Метод вагової функції заснований на завданні вагових коефіцієнтів кожному із значень сигналу. Виявлено, що вплив випадкового шуму особливо гостро виявляється на граничних ділянках досліджуваного сигналу. Таким чином, для підвищення точності оцінок сигналу вводиться система вагових коефіцієнтів, відповідно до якої граничним значенням задається найменша вага, що збільшується в міру наближення до центральних значень досліджуваного сигналу.

Функцію, що визначає значення кожного вагового коефіцієнта wi, визначимо як

       ,        (8)

де        N — кількість значень сигналу.

Нова система базисних функцій (4) прийме вид

               (9)

На величину (8) також збільшуються значення досліджуваного сигналу (1) — f(t)W(t).

Показано, що існує ще один підхід, який дозволяє поліпшити точність оцінок параметрів тензометричного сигналу (1).

Шляхом множини експериментів та їхнього аналізу встановлено, що при застосуванні методу вагової функції обчислення середньоквадратичного відхилення в методі заданого діапазону частот повинне визначатися відповідно до формули

       .        (10)

Використання формули (10) дозволяє одержати мінімум середньоквадратичного відхилення відповідний найбільш точному значенню частоти із заданого діапазону [Ωmin…Ωmax], і, як наслідок, найбільш точне значення постійної складової сигналу D.

Показано, що запропонований підхід дозволяє досягти як мінімум десятикратного збільшення точності вимірів при малій тривалості досліджуваного сигналу, і, крім того, його використання дозволяє одержати більшу точність оцінок параметрів сигналу (1) у порівнянні з методом подвійного інтегрування.

Метод воріт. Встановлено, що в реальних умовах похибка вимірів при використанні кожного з розглянутих методів, у деяких випадках, може перевищити похибку, отриману шляхом простого усереднення сигналу, що є неприпустимим і може розцінюватися як збійна ситуація. У зв'язку з цим пропонується доповнити метод вагової функції, як кращий із представлених, таким чином, щоб гарантувати величину похибки не перевищуючу похибку усереднення значень сигналу при будь-яких умовах виміру.

Як таке доповнення запропоновано використовувати обмеження на вибір оцінок параметрів моделі (1) — ворота, які визначають припустимий діапазон отриманого значення постійної складової сигналу D. У цьому випадку використовуються дослідження реальних сигналів. З літературних джерел відомо, що величина амплітуди низькочастотної складової сигналу (1) складає не більш 10...15 % величини постійної складової сигналу D. Таким чином, у результаті застосування методу заданого діапазону частот, обчислене значення величини D = а0 не повинне перевищити середньоарифметичне значення досліджуваного сигналу , на величину

       ,        (11)

де        G — величина воріт.

Таким чином, з урахуванням уведених доповнень найбільш точним вважається той результат, що, по-перше, знаходиться в інтервалі

       ,        (12)

де        а0 — поточний результат апроксимації, що відповідає D;

а по-друге, має найменшу середньоквадратичну похибку, розраховану по формулі (10). Якщо жодне з отриманих значень не задовольняє (12), то як шуканий результат виступає середньоарифметичне значення досліджуваного сигналу .

Проведено комп'ютерне моделювання з метою визначення точності оцінок параметрів сигналу, отриманих шляхом впровадження методу воріт (рис. 2).

Рис. 2. Залежності відносної похибки виміру постійної складової сигналу від частоти, отримані:

1 — шляхом усереднення; 2 — з використанням методу вагової функції; 3 — з використанням методу вагової функції і методу воріт