Библиотечный каталог авторефератов Украины

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Харченко Олексій Вікторович

УДК 004.932:61

МЕТОДИ ВТОРИННОЇ ОБРОБКИ УЛЬТРАЗВУКОВИХ ЗОБРАЖЕНЬ, ЩО ЗАБЕЗПЕЧУЮТЬ ПІДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТІ ОЦІНОК ДІАГНОСТИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ЗАХВОРЮВАНЬ СЕРЦЯ

Спеціальність 05.11.17 – медичні прилади і системи

Автореферат дисертації на  здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті радіоелектроніки, Міністерство освіти та науки України.

Науковий керівник        -        кандидат технічних наук, доцент

               Малюк Віктор Григорович,

               Харківський національний університет радіоелектроніки,

               доцент кафедри біомедичних електронних приладів та систем.

Офіційні опоненти:        

-        доктор технічних наук, професор

       Лагутін Михайло Федорович,

       Харківський національний університет радіоелектроніки,

       професор кафедри радіоелектронних пристроїв;

-        доктор технічних наук, старший науковий співробітник

       Лукін Володимир Васильович,

       Національний аерокосмічний університет

       ім. М.Є. Жуковського “ХАІ”,

       доцент кафедри прийому, передачі та обробки сигналів.

Провідна установа - АТ Науково-дослідний інститут радіотехнічних вимірювань, Національне космічне агентство України, м. Харків.

Захист відбудеться " 9 " березня 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради  К 64.052.05 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки (61166, м. Харків, пр. Леніна, 14).

Автореферат розісланий " 8 " лютого 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради                Мустецов М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Основою неінвазивних методів діагностики захворювань серця є вимірювання, що дозволяють з різним ступенем точності оцінити безліч параметрів об'єкта досліджень. При цьому значна доля вимірів виконується з використанням зображень, що одержані різними методами візуалізації. Актуальним є підвищення вірогідності діагностики, заснованої на вимірах параметрів серцевих структур при використанні методів  ультразвукової інтроскопії. Це пов'язано з тим, що для ультразвукових зображень характерні специфічні перекручування, перешкоди й артефакти, пов'язані з особливостями поширення ультразвукових хвиль у біотканинах, характеристиками ультразвукових датчиків, складністю одержання зображень зі стандартних ехокардіографічних позицій і психофізичними особливостями зору людини.

При візуалізації ультразвукових зображень основна доля інформації міститься в перепадах яскравості. При цьому психофізичні властивості зору такі, що контрастна чутливість залежить від інтенсивності фону, у зв'язку з чим реакція ока на зміну освітленості є нелінійною. Зазначене призводить до того, що при виділенні границь об'єктів і проведенні геометричних вимірів виникає систематична помилка, пов'язана з особливостями зору людини. До перекручувань ультразвукових зображень, а, отже, і помилок вимірів діагностичних параметрів приводять шуми й артефакти, пов'язані з властивостями біотканин. Вимірювальні прилади також вносять похибки оцінок параметрів. Зменшити помилки вимірів в умовах комплексу перешкод, що впливають, можна, використовуючи вторинну обробку ультразвукових зображень (ВОУЗЗ).

Під вторинною обробкою ультразвукових зображень будемо розуміти сукупність  комп'ютерних методів обробки цифрових сигналів зображень, спрямовану на підвищення точності вимірів, значущості діагностичних параметрів і одержання нових діагностичних ознак. Вона ґрунтується на результатах первинної обробки, що включає візуалізацію серця і внутрісерцевих структур, а також цифрове надання отриманих зображень у вигляді масиву даних. Таке перетворення здійснюється ультразвуковими апаратами з ехоімпульсною системою візуалізації.

Підвищення точності вимірів діагностичних параметрів може бути забезпечено застосуванням ефективних методів виділення контурів і границь серцевих структур на ультразвукових зображеннях. Для виконання кількісної оцінки ефективності існуючих методів та методів, що розроблюють, необхідно мати, по-перше, модель таких зображень з параметрами, що могли б контрольовано змінюватися, і, по-друге, показник ефективності, що міг би змінюватися відповідно до характеру розв'язуваних задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано відповідно з:

• науковим напрямком кафедри Біомедичних електронних приладів і систем Харківського національного університету радіоелектроніки “Розробка нових способів і комп'ютерних систем медичної діагностики й лікування”;
• науково-дослідною роботою Інституту загальної й невідкладної хірургії АМН України за темою № ДР 0102U003240 (шифр ВН.1.2002) "Вивчити морфо–функціональні зміни серцево–судинної системи, стан гомеостазу й удосконалити лікувальну тактику тромбоемболічної хвороби та її ускладнень", у якій автор був виконавцем.

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційних досліджень є розробка нових методів обробки ультразвукових зображень серцевих структур, що забезпечують підвищення точності оцінок діагностичних параметрів і формування нових діагностичних ознак захворювань серця.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

1. Розробити методи виділення контурів і границь розмитих ультразвукових зображень, що забезпечують підвищення точності вимірів при різній якості зображень, що досліджуються, різних характеристиках діаграми спрямованості ультразвукових датчиків і апріорних даних щодо розміру та форми об'єктів, які вимірюють.
2. Для проведення порівняльного аналізу існуючих і пропонованих методів виділення контурів і границь розробити модель ультразвукових зображень з контрольованими параметрами, по імовірнісним і геометричним характеристикам наближену до реального ультразвукового зображення серця.
3. Розробити узагальнений показник якості виділення контурів і границь, що враховує особливості розв'язуваних задач вимірів, який дозволив би оцінювати ефективність різних методів обробки.
4. Одержати оцінки точності визначення діагностичних параметрів до і після виконання додаткової обробки ультразвукового зображення.
5. Розробити метод оцінки значущості використовуваних діагностичних ознак при різній точності виконуваних вимірів і метод класифікації станів складних об'єктів, які характеризуються різнотипними даними.
6. Запропонувати спосіб одержання нових діагностичних ознак серцево-судинних захворювань, що базується на використанні інформації, одержуваної в результаті додаткової обробки ультразвукових зображень серця у кардіоциклі.

Об'єктом дослідження є оцінка діагностичних параметрів серцевих структур по їхніх ультразвукових зображеннях.

Предметом дослідження є методи вторинної обробки ультразвукових зображень, спрямовані на підвищення точності вимірів діагностичних ознак захворювань серця при перекручуваннях ехокардіограм, що обумовлені шумами, артефактами та апаратурними похибками.

Методи досліджень. У роботі використовувалися теоретичні та експериментальні методи дослідження.

На базі теорії цифрової обробки зображень вирішувались задачі вторинної обробки ультразвукових зображень, які орієнтовані на виділення контурів розмитих зображень в умовах перешкод і артефактів.

Теорія імовірностей і математична статистика використовувалися для розробки статистичної моделі ультразвукових зображень з параметрами, що могли б контрольовано змінюватися.

Ґрунтуючись на методах поліноміальної інтерполяції, було розроблено метод опису замкненого контуру гладкою кривою, що необхідно для надання апріорних даних про форму та розміри серцевих структур.

Теоретичні основи метрології і вимірювальної техніки дозволили отримати кількісні оцінки точності виміру діагностичних параметрів і виграшу, одержаного при використанні вторинної обробки ультразвукових зображень.

Теорія розпізнавання образів застосовувалася для оцінки значущості діагностичних ознак, що використовувались.

Програмування на ПЕОМ з використанням пакета Delphi необхідно для створення програм для Windows'9x/NT, у яких реалізуються розроблені методи вторинної обробки ультразвукових зображень.

Наукова новизна отриманих результатів:

1. Побудовано модель ультразвукових зображень, яка відрізняється від існуючих тим, що параметри, від яких залежить якість зображення, можуть контрольовано змінюватися. Отримано аналітичне вираження для нового показника ефективності виділення контурів і границь тестових зображень, у якому вибір коефіцієнтів визначається особливостями розв'язуваних задач.
2. Уперше запропоновано метод виділення контурів розмитих ультразвукових зображень, заснований на обчисленні полярних різниць, який при відношенні сигнал/шум забезпечує підвищення показника якості в 1,2…4,5 разів у порівнянні з відомим методом квазірозмаху.
3. Уперше запропоновано локально-адаптивний метод виділення контурів розмитих ультразвукових зображень, заснований на використанні апріорних даних про форму та розміри об'єкта дослідження. Розроблено новий різновид сплайн-інтерполяції, яка необхідна для реалізації методу. Отримано новий аналітичний вираз, що характеризує точність виділення контуру при локально-адаптивній обробці зображення.
4. Запропоновано інтегральну ознаку і показник значущості діагностичних ознак, що дозволяє сформувати простір ознак і кількісно оцінити вірогідність діагностики серцево-судинних захворювань. Розроблено новий спосіб виділення діагностичних ознак, що базується на візуалізації фазової траєкторії переміщення особливих точок серцевих структур при комп'ютерній обробці ультразвукових зображень у кардіоциклі, який розширює простір ознак для діагностики серцево-судинних захворювань.

Практичне значення отриманих результатів:

1. Підвищено точність вимірів діагностичних параметрів серця за рахунок виключення систематичних помилок, пов'язаних з психофізичними властивостями зору людини при сприйнятті ультразвукових зображень.
2. Запропоновані узагальнений показник якості виділення контурів і границь на зображенні та комп'ютерна модель ультразвукового зображення серця, які дозволили надати практичні рекомендації з використання різних методів виділення контурів і границь при обробці зображень, що характеризуються визначеним рівнем перешкод і артефактів.
3. Підвищено точність вимірів параметрів серцевих структур, а, отже, і значущість діагностичних ознак серцево-судинних захворювань, за рахунок застосування  нових методів виділення контурів і границь на розмитих ультразвукових зображеннях низької якості.
4. Розроблені комп'ютерні програми, що реалізують запропоновані методи вторинної обробки ультразвукових зображень, які дозволили автоматизувати виміри ряду діагностичних параметрів серцевих структур.

Результати роботи впроваджені і використовуються:

1.        В Інституті загальної та невідкладної хірургії АМН України (акт Інституту загальної та невідкладної хірургії АМН України № 5/17  від 27 жовтня 2003 р.):

• вторинна обробка ультразвукових зображень, що заснована на обчисленні полярних різниць, дозволила з високим ступенем точності діагностувати навіть малосимптомні прояви немасивної легеневої емболії;
• запропонована інтегральна діагностична ознака, що включає найбільш значимі показники, дозволила кількісно оцінити вірогідність діагностики тромбоемболії легеневої артерії.

2.        В Харківському національному університеті радіоелектроніки  (акт ХНУРЕ № 08.04/02 - 389 від 17 жовтня 2003 р.):

• на лекціях і практичних заняттях з дисциплін  „Біологія, фізіологія і патологія” і „Ультразвукові медичні пристрої” використовують результати аналізу ефективності існуючих методів виділення контурів і границь на ультразвукових зображеннях, а також  нові методи, що засновані на обчисленні полярних різниць і локально-адаптивній фільтрації;
• на практичних заняттях використовують програмні реалізації на ПЕОМ методів вторинної обробки зображень.

Особистий внесок здобувача у роботах, виконаних у співавторстві, полягає у наступному. У роботі [5] запропоновано інтегральний показник якості виділення контурів і границь при обробці зображень. У роботі [6] запропоновано метод покадрової обробки ультразвукових зображень в кардіоциклі, який відрізняється від існуючих тим, що у кожнім з кадрів визначають характерні точки на анатомічних структурах серця, та будують годографи  переміщення цих точок. У роботі [7] запропоновано метод вторинної обробки зображень, який засновується на використанні полярних різниць. У роботі [8] запропоновано метод розпізнавання стану складного об'єкта, який засновано на використанні вибірки, що навчає, представленої у виді емпіричної таблиці з різнотипними даними. У роботі [11] проведено порівняльний аналіз теоретичних та експериментальних значень обчисленого об’єму правого шлуночка серця.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на наступних конференціях та семінарах: науково-практичній конференції "Актуальні питання невідкладної хірургічної допомоги населенню України", розділ "Нові технології в невідкладній хірургії" (м. Харків, АМН України, МОЗ України, ІОНХ АМН України, ХДМУ, 14-16 травня 2002 р.); II міжнародній науково-технічній конференції “Проблемы информатики и моделирования” (м. Харків, Міністерство освіти та науки України, НАНУ, Національний технічний університет “Харківський політехнічний університет”, 28 – 30 листопада 2002 р.); III міжнародній науково-технічній конференції “Проблемы информатики и моделирования” (м. Харків, Міністерство освіти та науки України, НАНУ, Національний технічний університет “Харківський політехнічний університет”, 27 – 29 листопада 2003 р.); II республіканській науково-практичній конференції “Атеросклероз та атеротромбоз: патогенез, клініка, лікування” та семінарі “Гіполіпідемічна терапія: від теорії до практики” (м. Харків, АМНУ, МОЗ України, Інститут терапії АМНУ, 16 – 17 жовтня 2003 р., сертифікат №283); науково-технічному семінарі “Синтез, обработка и отображение информационных моделей” наукової ради НАНУ по проблемі “Теоретическая электротехника и электронное моделирование”, Харків. – 2003 р.

Публікації. Основні положення і результати дисертаційної роботи опубліковані в 11 роботах, а саме: у 5 статтях в наукових виданнях, що входять до переліку ВАК України, 1 статті у медичному виданні, 1 патенті на винахід  та 4 тезах доповідей на конференціях.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел і додатків. Загальний обсяг дисертації складає 194 сторінки, серед яких 56 ілюстрацій, 26 таблиць, 15 додатків на 45 сторінках, список використаних літературних джерел із 119 найменувань на 8 сторінках. Основний зміст роботи викладено на 141 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, її наукова і практична значущість, сформульовані цілі та задачі роботи, наведено її загальну характеристику.

У першому розділі обґрунтовані доцільність та шляхи реалізації вторинної обробки ультразвукових зображень, розглянуто архітектоніку серця, методи вимірювань діагностичних параметрів зі стандартних ехокардіографічних позицій. Проаналізовано чинники, що ускладнюють одержання інформації з ультразвукового зображення: особливості поширення ультразвуку в біотканинах, характеристики апаратури для ультразвукових досліджень, перешкоди, артефакти і систематичні помилки, пов'язані з психофізичними властивостями зору людини. Проведені експериментальні дослідження, що дозволили кількісно оцінити величину систематичної помилки вимірів, пов'язану з психофізичними властивостями зору людини.

Рис. 1. Графік залежності величини абсолютної помилки, пов'язаної з психофізичними особливостями зору людини, від середньої яскравості фону зображення

На рис. 1 наведено графік, що відображає залежність систематичної помилки виділення перепаду яскравості від яскравості фону зображення. З проведених досліджень видно, що систематична помилка для всіх операторів залежить від середньої яскравості фону зображення, а її величина в основному визначається індивідуальними особливостями зору. Величина помилки може бути значною, що знижує точність проведених вимірів об'єктів на розмитих ультразвукових зображеннях.

Визначено задачі вторинної обробки зображень і шляхи підвищення інформативності УЗ зображень при ехокардіографічних дослідженнях.

У другому розділі розроблено метод виділення контурів та границь об'єктів на розмитих ультразвукових зображеннях, заснований на обчислюванні полярних різниць, який дозволяє підвищити точність оцінок діагностичних параметрів серцевих структур.

Для об'єктивної оцінки ефективності різних методів виділення контурів і границь було запропоновано використовувати як досліджуваний об'єкт модель ультразвукового зображення з заданими параметрами. Розроблена модель ультразвукового зображення серця дозволяє врахувати вплив таких чинників як форма об'єкта, характеристики біотканини та перекручування, що були внесені ультразвуковим перетворювачем.

Параметри моделі, що наведені в таблиці 1, дозволяють змінювати вплив кожного з чинників.

Таблиця 1.

Параметри моделі

Показано, що при R = 128 пт (3,84 см), m = 96 од. яскр., у2 = (191 од. яскр.)2 та S(ф) – квадратне вікно n x n = 7 х 7 пт, з параметром розсіяння, що дорівнює 1, модель відповідає властивостям реальних ультразвукових зображень серцевих структур, та може бути використана для порівняння різних методик вторинної обробки ультразвукових зображень.

Для забезпечення можливості виконання кількісної оцінки ефективності різних методів виділення перепадів яскравості на моделі ультразвукових зображень, було розроблено показник ефективності алгоритмів виділення контурів і границь. Даний показник дозволяє комплексно врахувати перекручування, що спостерігаються, і такі помилки, як розриви в контурі, викиди, зсув справжнього положення перепаду яскравості і розмиття (“змаз”) границі перепаду:

,                        (1)

де        N – дійсне число точок уздовж лінії границі (перепаду яскравості);

       NРОЗР – число точок розривів лінії границі, що виділено оброблювачем;

       NПВ – число помилкових викидів (ПВ);

       T – середня товщина виділеного перепаду, що обміряно по нормалі до границі;

       S – середньоквадратичне відхилення (СКВ) виділеної границі від справжньої;

       H – ширина області припустимих значень відхилення виділеної границі від справжнього положення;

       бi, вi – коефіцієнти впливу параметрів на оцінку якості виділення границі.

Рисунок 2 ілюструє одержання оцінок T, NРОЗР, NПВ і S, необхідних для обчислення значення R.

Рис. 2. Характерні перетини і діаграми яскравостей у перетинах А-А і В-В

У перетині A-A спостерігається розрив лінії границі, що виділено оброблювачем, при якому в області дійсного значення положення границі яскравість зображення знаходиться нижче встановленого порогу. У цьому перетині товщина і зсув границі не вимірюються. У перетині B-B розриви відсутні і вимірюють зсув границі Si щодо її справжнього положення, а також товщина границі Ti.

Помилковим викидом у перетині, що впливає на якість розпізнавання границі, вважають точку на відстані не більше ніж Н від контуру, для якої виконуються умови:  яскравість точки знаходиться вище порога і перевищує яскравість інших точок у даному перетині; точка не межує з аналогічною точкою в попередньому i-1 та/або наступному i+1 перетинах. У перетині з помилковим викидом не виміряються зсув і товщина границі, як і у випадку розриву.

Для різних зображень існує оптимальний поріг яскравості, який максимізує значення показника R. Це обумовлює необхідність включення до алгоритму обчислень підстановки всіх припустимих значень порога яскравості та знаходження Rmax на множині цих значень. Таким чином, формула (1) перетворюється до виду

,                                                              (2)

де Пя – поріг яскравості, визначений на множині припустимих значень.

З використанням розробленої моделі, запропонованого показника якості виділення контурів і границь, а також спеціальної програми оцінки ефективності алгоритмів оконтурювання, зроблено порівняльний аналіз відомих методів виділення контурів розмитих ультразвукових зображень.

Проведені дослідження показали, що існуючі лінійні і нелінійні алгоритми виділення контурів і границь досить добре працюють при обробці зображень, що мають високу якість. Однак, в умовах сильних шумів їхня ефективність різко знижується. Істотно поліпшити якість виділення контурів і границь можна визначаючи напрямок переміщення курсового оператора, при якому спостерігається максимальне значення перепаду яскравості. Запропонований у роботі метод обробки ультразвукових зображень дозволив виділяти контури (границі) при таких відношеннях сигнал/шум, коли відомі лінійні і нелінійні методи виділення перепадів яскравості практично не працюють.

Для реалізації цього методу виконуються наступні дії:

1. Зображення генералізують – згладжують за допомогою віконного фільтра.
2. Діапазон зміни яскравості зображення приводять до заданого числа градацій яскравості.
3. Для кожної точки зображення обчислюють максимальну полярну різницю, тобто різницю яскравостей діаметрально протилежних пікселей на множині напрямків при заданому полярному радіусі ρ (див. рис. 3).

Рис. 3. Обчислення полярних різниць

4. До отриманого зображення повторно застосовують перетворення п. 3 і отриману полярну різницю другого порядку віднімають від першої.
5. Для кращого сприйняття отриманого зображення, динамічний діапазон яскравостей приводять до логарифмічного масштабу.

На рис. 4 надані ультразвукове зображення серця у парастернальній позиції, а також результати обробки даного зображення, виконаної з використанням операторів Собела, Кірша, квазірозмаху і запропонованого методу оконтурювання. Обробка зображень на ПЕОМ реалізована з використанням спеціально розробленої програми.

Рис. 4. Результати обробки ультразвукового зображення серця: а) вихідне; б) оброблене оператором Собела; в) оброблене оператором Кірша; г) оброблене методом квазірозмаху; д) оброблене методом полярних різниць

Практичну значущість запропонованого методу ілюструє рис.5. Для визначення справжніх границь лівого шлуночка (ЛШ) на ультразвуковому зображенні (рис. 5 а) наведена діаграма яскравостей у горизонтальному перетині даного зображення (рис. 5 б). Відповідно до цієї діаграми на рисунках виділена область, що характеризується максимальним перепадом яскравостей на границі шлуночка.

Рис. 5. Порівняння результатів вимірювань

При співставленні даної області з результатом оконтурювання (рис. 5 в), виконаного кваліфікованим лікарем на підставі вихідного зображення, була виявлена систематична похибка. У той самий час при виділенні границь, виконаному з використанням методу, що описано, такої похибки не спостерігається (рис. 5 г).

Таким чином, запропонований метод обробки забезпечив зменшення систематичних похибок вимірів, пов'язаних з особливостями зору людини.

У третьому розділі показано, що розроблений метод виділення перепадів яскравості, заснований на обчисленні полярних різниць, підвищує поріг чутливості, але тільки до певного рівня, що в ряді випадків недостатньо для вирішення задач виміру діагностичних параметрів.  В той же час досвідчений ехокардіографіст здатний виділяти елементи серцевих структур навіть при дуже значних перекручуваннях і шумах. Це пов'язано із неперевершеною дотепер здатністю людського мозку розпізнавати зображення, а також з використанням при розпізнаванні накопиченої апріорної інформації про форму і розміри відповідних об'єктів. Це дозволило  припустити, що метод обробки зображень, у якому, в якості однієї зі складових, буде включені досвід і накопичена людиною інформація, може виявитися істотно кращим будь-якого іншого методу, у якому така інформація не використовується.

Метод, що пропонується в даному розділі,  дозволив, з одного боку, використовувати апріорну інформацію про форму і розміри досліджуваного об'єкта, а, з іншого боку, позбутися від суб'єктивного чинника, пов'язаного з психофізичними особливостями зору людини, і підвищити точність вимірів. У цьому принципова відмінність запропонованого методу від тих, що використовувалися  раніше.

Метод складається з двох етапів: на першому етапі контур об'єкта приблизно апроксимують замкненою кривою по невеликій кількості точок, які розставляє оператор на наявному зображенні,  користуючись апріорними даними (досвідом) про досліджуваний об'єкт; на другому етапі послідовно виконують корекцію положення кожної точки даної кривої, ґрунтуючись на об'єктивних даних про положення максимального перепаду яскравості.

Запропоновано різновид сплайн-кривої, що дозволяє інтерполювати довільний замкнений контур на растровому зображенні, заданий визначеною послідовністю з n точок. При цьому крива, що інтерполює, проходить через задані точки і не має там розривів першої похідної. Особливістю сплайна є те, що нахил дотичної в i-й точці кривої, що відповідає кінцю (i-1)-го і початку i-го інтервалу,  визначено як тангенс кута між перпендикуляром до бісектриси і відрізками, що з'єднують i-у точку з сусідніми

Рис. 6. Крива, що інтерполює

,                                            (3)

де si  приймає значення 1 чи -1 у залежності від виду кривої в даній точці (опукла чи увігнута) і визначається системою нерівностей

                                               (4)

де di2 – квадрат довжини відрізка, що побудовано додатково для визначення опуклості/увігнутості кривої в i-й точці, яку знаходять по формулі

                                                 (5)

Криву, що інтерполює, як і у випадку сплайн-інтерполяції, задають поліномом третього ступеня

,                                                  (6)

де коефіцієнт γ3(i) обчислюють по формулі

                                                                  (7)

а коефіцієнти γ1(i) і γ2(i) визначають з рішення системи лінійних рівнянь

.                                                 (8)

Метод, що запропоновано, дозволяє зменшити залежність результату інтерполяції від вибору положення точок, що дозволяє спростити і формалізувати введення апріорних даних про серцеві структури. Він орієнтований на використання ПЕОМ і досить просто реалізується у вигляді підпрограми, написаної на будь-якій мові високого рівня.