|
Міністерство освіти і науки України
Національний авіаційний університет
ШМАКОВ Віталій Валерійович
УДК 629.7.016
МОДЕЛЮВАННЯ КВАЗІСТАЦІОНАРНИХ ПРИСТІННИХ ТЕЧІЙ ПРИ РОЗРАХУНКУ АЕРОДИНАМІЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЕЛЕМЕНТІВ ЛІТАЛЬНИХ АПАРАТІВ
Спеціальність: 05.07.01 -
Аеродинаміка та газодинаміка літальних апаратів
АВТОРЕФЕРАТ ДИСЕРТАЦІЇ
на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Київ – 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі аеродинаміки та динаміки польоту інженерно-авіаційного факультету Харківського університету Повітряних Сил Міністерства оборони України.
Науковий керівник - кандидат технічних наук, доцент
МИРГОРОД Юрій Іванович,
Харківський університет Повітряних Сил,
начальник кафедри аеродинаміки та динаміки польоту.
Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор
КРАШАНИЦЯ Юрій Олександрович,
Національний аерокосмічний університет
ім. М.Є. Жуковського “ХАІ”,
завідувач кафедри аерогідродинаміки;
- кандидат технічних наук, доцент
ШКВАР Євген Олексійович,
Національний авіаційний університет,
доцент кафедри вищої математики № 1.
Провідна установа - Авіаційний науково-технічний комплекс “Антонов”,
Міністерство промислової політики, м.Київ.
Захист дисертації відбудеться “24” березня 2005 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.062.05 в Національному авіаційному університеті за адресою: 03058, м. Київ - 58, проспект Космонавта Комарова, 1; корп. 9, ауд. 201.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного авіаційного університету за адресою: 03058, м.Київ-58, проспект Космонавта Комарова, 1; корп. 8.
Автореферат розісланий “17” лютого 2005 року.
Вчений секретар спеціалізованої
вченої ради, кандидат технічних наук,
старший науковий співробітник Жданов О.І.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність досліджень. За сучасних умов все більш актуальним напрямком досліджень є розрахунок аеродинамічних характеристик елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки, зокрема на закритичних кутах атаки, а також вивчення і використання різноманітних явищ і ефектів, пов'язаних з відривними течіями. Достовірне визначення аеродинамічних характеристик елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки являє собою одну з найважливіших і складних задач аеродинаміки.
Існує багато робіт, присвячених методам математичного моделювання турбулентних течій за допомогою чисельного розв’язання рівнянь типу Нав’є-Стокса чи Рейнольдса. Чисельне розв’язання цих рівнянь при великих числах Рейнольдса у разі розрахунків просторового обтікання тіл потребує значних витрат комп'ютерних ресурсів, а також додаткових досліджень щодо вибору моделей турбулентності.
Останнім часом набуває масового характеру створення легких літальних апаратів. Над проектуванням і дослідженням таких апаратів працює багато організацій у світі. Виникає проблема забезпечення цих робіт надійним теоретичним підґрунтям, насамперед в аеродинаміці. Найважливішу роль при створенні таких літаків відіграє фактор часу, тобто дослідження, розробка та випробування повинні виконуватися в стислий термін.
У зв'язку з цим актуальною є проблема розробки ефективної з точку зору оперативності й достатньої для інженерних досліджень точності методики розрахунку аеродинамічних характеристик елементів легких літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки, що дозволяє одержувати характеристики, необхідні для швидкої оцінки аеродинамічних характеристик елементів літальних апаратів, а також використання їх у задачах динаміки польоту.
Метою роботи є розробка методики розрахунку аеродинамічних характеристик елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки при малих дозвукових швидкостях у двовимірній постановці.
Задачі досліджень:
- Розробити математичну модель квазістаціонарних пристінних течій та сформулювати задачу обтікання елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
- Побудувати алгоритм чисельного розв’язання задач обтікання елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
3. Дослідити вплив геометричних і кінематичних параметрів на аеродинамічні характеристики елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
Об’єктом дослідження є обтікання елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
Предметом дослідження є розподілені та сумарні аеродинамічні характеристики елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
Метод дослідження. У роботі як методи дослідження нелінійних нестаціонарних аеродинамічних характеристик елементів літальних апаратів використовуються модифікований метод дискретних вихорів та інтегральний метод розрахунку параметрів примежового шару. Сутність модифікації методу дискретних вихорів полягає в тому, що обтічні поверхні та вихрові смуги замінюються подвійними вихровими шарами, які моделюються вихровими комірками, кожний з яких включає в себе пару вихорів з однаковою за модулем і протилежною щодо напрямку циркуляцією.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційного дослідження тісно пов'язана з основними напрямками наукової діяльності Харківського університету Повітряних Сил. Робота виконана на кафедрі аеродинаміки та динаміки польоту інженерно-авіаційного факультету Харківського університету Повітряних Сил відповідно до напрямків наукових досліджень університету, теми № 48301/ ХІ ВПС - “Підвищення бойової та транспортної ефективності сучасних і перспективних літальних апаратів”, шифр “Модель - 202”.
Результати дисертаційного дослідження становлять практичний інтерес для проектувальників різноманітних об’єктів легкомоторної авіації.
Наукова новизна роботи полягає в тому, що:
- удосконалено методику розрахунку квазістаціонарних пристінних течій при розрахунку аеродинамічних характеристик елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки. Ця методика основана на комбінації модифікованого методу дискретних вихорів та інтегрального методу розрахунку примежового шару;
- дістав подальшого розвитку спосіб розрахунку параметрів течії нев'язкої рідини за допомогою модифікованого методу дискретних вихорів при моделюванні квазістаціонарних пристінних течій;
- дістав подальшого розвитку метод розрахунку примежового шару, оснований на інтегральних співвідношеннях, при моделюванні квазістаціонарних пристінних течій.
Достовірність наукових положень та результатів і висновків, які отримано, підтверджено шляхом порівняння результатів моделювання плоскопаралельного обтікання широкого класу об'єктів досліджень (циліндра, профілю крила) з експериментальними даними і результатами розрахунків інших авторів; моделюванням відомих аеродинамічних ефектів (вихрові доріжки Кармана; зниження опору при турбулентному обтіканні колового циліндра в порівнянні з ламінарним; ефект Магнуса на коловому циліндрі, що обертається; статичний гістерезис аеродинамічних характеристик профіля за кутом атаки).
Практичне значення одержаних результатів. Науково-технічний ефект полягає в тому, що:
- розроблена методика дозволяє моделювати квазістаціонарні пристінні течії та розраховувати в нестаціонарній постановці аеродинамічні характеристики елементів літальних апаратів;
- розроблена методика дає можливість проводити дослідження впливу геометричних і кінематичних параметрів на аеродинамічні характеристики елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки;
- результати досліджень впливу геометричних і кінематичних параметрів на аеродинамічні характеристики елементів літальних апаратів можуть бути використані при проектуванні елементів літальних апаратів, а також у навчальному процесі авіаційних навчальних закладів.
Реалізація результатів роботи. Автором реалізовано такі наукові положення:
- методика розрахунку аеродинамічних характеристик профілів на закритичних режимах обтікання в науково-дослідній роботі “Підвищення бойової та транспортної ефективності сучасних і перспективних літальних апаратів” (шифр “Модель - 202”, замовник - ХІ ВПС) при дослідженні аеродинамічних характеристик профілів на відривних режимах обтікання;
- у навчальному процесі ФІА ХІ ВПС, зокрема в дисципліні “Сучасні методи дослідження аеродинаміки і динаміки польоту” за спеціальністю 7.100106 – “Виробництво, технічне обслуговування і ремонт повітряних суден (літаки, вертольоти і авіаційні двигуни)”.
Особистий внесок здобувача. Наукові положення, висновки та рекомендації, що викладені в дисертації та подані на захист, отримані особисто автором, а саме:
- розроблено методику розрахунку аеродинамічних характеристик елементів легких літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки;
- створено математичну модель квазістаціонарних пристінних течій;
- досліджено вплив геометричних і кінематичних параметрів на аеродинамічні характеристики елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися:
- на V міжнародній науково-технічній конференції “АВІА-2003 ” (Київ, 2003 р.);
- на ХІ міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (Херсон, 2003 р.);
- на міжнародній науково-технічній конференції “Проектування та виробництво літаків і вертольотів” (Харків-Рибаче, 2003 р.);
- на науково-технічній конференції “Модернізація авіаційної техніки та озброєння МО України у сучасних умовах” (Феодосія, 2003 р.);
- на міжнародній науково-технічній конференції “Інформаційні комп’ютерні технології у машинобудуванні” (Харків, 2003 р.);
- на VI міжнародній науково-технічній конференції “АВІА-2004 ” (Київ, 2004 р.);
- на науково-технічній конференції “Сучасний стан і перспективи розробки, виробництва і застосування безпілотних літальних апаратів в Україні” (Київ, 2004 р.);
- на науковому семінарі кафедри аеродинаміки повітряних суден і безпеки польотів Національного авіаційного університету (Київ, 2004 р.);
- на науковому семінарі кафедри аерогідродинаміки Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського “ХАІ” (Харків, 2003-2004 рр.);
- на науково-технічних семінарах молодих учених ХІ ВПС (Харків, 2001-2002 рр.);
- на семінарах кафедри аеродинаміки та динаміки польоту ФІА ХІ ВПС (Харків, 2000-2004 рр.).
Публікації. За темою дисертації опубліковано 6 наукових статей, список яких наведений в кінці автореферату. У роботах [1-2,5], написаних у співавторстві, формулювання проблем та аналіз отриманих результатів проведені спільно. Розробка математичних моделей, вибір розрахункових методів і проведення числових досліджень виконані автором особисто. Результати дисертаційних досліджень також опубліковані в тезах конференцій “АВІА-2003” (Київ, 2003 р.), “Інформаційні комп’ютерні технології у машинобудуванні” (Харків, 2003 р.), “АВІА-2004” (Київ, 2004 р.), “Сучасний стан і перспективи розробки, виробництва і застосування безпілотних літальних апаратів в Україні” (Київ, 2004 р.), симпозіумі “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики” (Херсон, 2003 р.) і звіті про науково-дослідну роботу “Модель-202”.
Структура й обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів і висновків, в яких викладено основні результати, отримані в роботі, та списку використаних джерел. Робота містить 149 сторінок машинописного тексту, 82 рисунка на 47 сторінках. Загальний обсяг дисертації складає 207 сторінок. Бібліографія налічує 130 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі коротко викладено обґрунтування актуальності теми, сформульовано мету дослідження, наведено основні положення дисертаційної роботи, викладено наукову новизну, практичну цінність отриманих результатів і короткий зміст роботи за розділами.
Перший розділ містить огляд математичних моделей, що застосовують при розрахунку дозвукового обтікання тіл та аналіз існуючих способів вирішення рівнянь руху. Розглянуто проблему обтікання елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки, сформульовано загальну постановку задачі дослідження.
У підрозділі 1.1 розглянуто напрямки (в рамках моделей Ейлера і Нав’є-Стокса), що сформувалися в практиці чисельного моделювання картин дозвукової течії та підходи до реалізації спрощеного моделювання. В результаті зроблено висновок, що найбільш раціональною моделлю течії при розрахунку обтікання тіл для задач, що вивчаються в дисертації є модель, в якій використовується припущення про потенціальність та ізоентропійність течії.
Проаналізовано методи розрахунку обтікання тіл потоком газу. Розглянуто методи дискретних особливостей, сіткові методи. Показано, що сітковий метод розв’язання рівнянь Нав’є-Стокса є найбільш перспективним методом розрахунку обтікання тіл, який активно розвивається останнім часом. Це пов'язано з його універсальністю і з інтенсивним розвитком обчислювальної техніки. Цим методом можна розв’язувати задачі обтікання тіл в’язкою рідиною як при дозвукових, так і при трансзвукових і надзвукових швидкостях обтікання. Однак при розв’язанні задач цим методом складним є створення оптимальної розрахункової сітки, яка дозволяє при відносно малому часі розрахунку одержати необхідну точність результатів як в областях потоку, де параметри мало змінюються, так і в областях з інтенсивною зміною параметрів (стрибки ущільнення, примежовий шар, області з великою завихреністю). При створенні такої сітки необхідно виконувати локальне її здрібнювання в областях з інтенсивною зміною параметрів потоку. Якщо розташування цих областей заздалегідь невідомо, застосовують сітки, що адаптуються, в яких області локального здрібнювання визначаються на основі попередніх розрахунків з використанням більш грубої сітки. Це ускладнює розв’язання задачі і вимагає збільшення часу розрахунку. Для вирішення ряду задач зручним є застосування методу дискретних вихорів. При цьому використовують модель потенціального обтікання ідеальною рідиною. Для визначення аеродинамічних навантажень цим методом не потрібно розраховувати параметри потоку у всьому просторі, що оточує обтічне тіло. Досить визначити інтенсивності дискретних вихорів, що моделюють це тіло і вихровий слід за ним. Це скорочує час розрахунку. Моделювання вихрового сліду за несучими поверхнями дискретними вихорами добре узгоджується з фізикою обтікання цих поверхонь і дозволяє значно легше, ніж у сітковому методі, визначати положення вихрового сліду в просторі.
Розглянуто проблему побудови замкнутих моделей турбулентності у нестисливій рідині для слідів, що утворюються при обтіканні елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
Проаналізовано проблему обтікання тіл у широкому діапазоні кутів атаки та методи розрахунку потоку дозвукового газу. На основі цього зроблено висновок, що найраціональнішим методом при розрахунку обтікання тіл є комплексний підхід, оснований на синтезі моделі ідеального середовища і теорії примежового шару.
У підрозділі 1.2 сформульовано загальну постановку задачі дослідження.
У роботі ставиться задача створення математичної моделі квазістаціонарних пристінних течій і методики розрахунку аеродинамічних характеристик елементів літальних апаратів при зміні кута атаки у широкому діапазоні.
При моделюванні обтікання тіл у широкому діапазоні кутів атаки у розрахунковій схемі для чисельного дослідження нестаціонарного обтікання елементів літальних апаратів (профіль крила) припускається поділ усього поля течії на дві області (рис. 1):
- течії нев'язкої рідини поза профілем і примежовим шаром;
- течії в'язкої рідини.
У задачі вважаються заданими:
- жорсткі поверхні s, що задають геометрію обтічної поверхні;
- швидкість набігаючого потоку
 ;
- кінематична в’язкість ν.
Область течії нев’язкої рідини. Течія потенціальна всюди, за винятком поверхонь s, sp. З рівняння нерозривності випливає, що потенціал збурених швидкостей  є гармонійною функцією, тобто задовольняє рівняння Лапласа
 ,
де  - безрозмірний час,  - радіус-вектор точки в просторі.
Тоді поле тиску в довільній точці простору визначається інтегралом Коші-Лагранжа
 .
Знаючи величину тиску та поверхневе тертя у кожній точці поверхні, можна знайти силу і момент, які діють з боку рідини на тіло:
 ,  ,
де  - радіус-вектор точки на поверхні,  - орт зовнішньої нормалі до поверхні.
Таким чином, вирішення задачі обтікання зводиться до розв’язання рівняння Лапласа, яке повинно задовольняти такі граничні умови:
- непротікання на жорстких поверхнях s
 ,  ∈ ;
- затухання збурень на нескінченності
 ;
;
- неперервність тиску і нормальної швидкості на вихровій пелені sp
 ,  ;
- гіпотеза Чаплигіна-Жуковського-Кутта в точках сходу вихрових пелен sp.
Через велику складність розрахунку обтікання елементів літальних апаратів у цілому в даній роботі вирішується двовимірна нелінійна нестаціонарна задача обтікання елементів літальних апаратів. У подальшому припускається узагальнити отриману методику і перейти до розрахунку просторових тілесних компонувань.
У другому розділі викладено основні положення модифікованого методу дискретних вихорів, що використовується в області течії нев’язкої рідини (підрозділ 2.1).
У підрозділі 2.1.1 введено системи координат, виведено основні співвідношення, сформульовано прийняті припущення й обмеження в області течії нев’язкої рідини.
У підрозділі 2.1.2 викладені основні положення числового методу дискретних вихорів. Записана розрахункова система лінійних алгебричних рівнянь числового методу для виконання граничних умов.
У цей час для розрахунку аеродинамічних характеристик несучих поверхонь широко використовують метод дискретних вихорів (С.М.Білоцерковський, М.І.Нішт). Сутність цього методу полягає у заміні неперервних вихрових шарів, якими моделюється обтічна поверхня та її вихровий слід, системами дискретних вихорів. Безперервні за часом граничні умови, циркуляції та інші параметри течії при нестаціонарному обтіканні замінюються ступеневими їхніми змінами за розрахунковий інтервал безрозмірного часу Dt. Слід відзначити, що у методі дискретних вихорів виконуються всі граничні умови, зазначені вище. При цьому потенціальність течії поза поверхнями s, sp та примежовим шаром виконується побудовою замкнених вихрових систем. Однак через особливості побудови вихрових схем у методі дискретних вихорів виявляється, що вихрова модель смуги функціонально пов'язана з вихровою моделлю обтічного тіла. Це, разом з певними перевагами, приводить до потреби розробки індивідуальних вихрових схем для кожного класу задач, що неминуче приводить до створення нової програми розрахунку. З метою подальшого вдосконалення було здійснено модифікацію методу дискретних вихорів (В.О.Апаринов, О.В.Дворак). Сутність модифікації полягає в тому, що обтічні поверхні та вихрові пелени замінюються подвійними вихровими шарами (Л.Г.Лойцянський), які моделюються замкненими вихровими рамками із постійною циркуляцією по периметру. Ці рамки можуть бути довільної форми, не мають всередині себе інших рамок і торкаються між собою сусідніми сторонами без порожнин і розривів. Таким чином, забезпечується замкненість вихрової системи. Для двовимірного випадку вихрові рамки трансформуються у пари нескінченних вихорів з однаковими за абсолютним значенням і протилежними за знаком циркуляціями.
У підрозділі 2.1.3 розглянуто питання щодо схематизації двовимірних елементів літального апарата (тілесний профіль). Використано модифікований спосіб розрахунку обтікання тілесних профілів.
Для зручності побудови розрахункової вихрової схеми застосовано модульний принцип, відповідно до якого поверхня схематизується окремими типовими модулями з автономними вихровими системами, а вихрові пелени підстиковуються в точках відриву потоку і з'єднуються між собою також у вигляді окремих модулів. Контрольні точки, в яких виконується умова про непротікання поверхонь, розташовуються всередині між кожною парою вихорів. Як приклад наводиться вихрова схема профілю крила (рис. 2).
Вихрова система профілю (крила нескінченного розмаху) складається з двох поверхонь - верхньої і нижньої. Одержані вихрові системи доповнюються поверхнями вільних вихорів, що сходять з точок відриву примежового шару, які створюють вихровий слід (вихрову смугу). Моделювання вихрового шару на профілі та в сліді здійснюється парами дискретних вихорів.
При розгляді числового методу в області течії нев’язкої рідини відзначимо спосіб розрахунку тілесних профілів. В роботі використовується спосіб виділення єдиного вирішення за таких умовах: рівності нулю суми циркуляцій усіх вихрових пар; завдання всередині профілю додатково певної кількості контрольних точок, у яких абсолютна швидкість течії дорівнює нулю.
Вперше подібна методика розрахунку обтікання замкнутих тіл для тривимірного випадку запропонована О.В.Двораком та В.О.Удовенко, для двомірного випадку В.О.Удовенко та М.М.Орловським. Автором ця методика використана для розрахунку обтікання елементів літальних апаратів у широкому діапазоні зміни кута атаки, в області течії нев’язкої рідини. Додаткові контрольні точки (в загальному випадку при складній формі профілю їх може бути достатньо велика кількість) розміщуються всередині профілю на відстані, більшій за міру дискретності, від його нижньої та верхньої поверхонь рівномірно по всьому об’єму. Ці дві умови додаються до системи лінійних алгебричних рівнянь, внаслідок чого одержується перевизначена система
 .
Ця система розв’язується за допомогою методу найменших квадратів і має вигляд
 .
Такий спосіб розрахунку обтікання тілесних двовимірних компонувань дозволяє більш точно виконувати граничні умови всередині тіл і розраховувати картину зовнішнього обтікання у порівнянні з розв’язанням задачі при використанні регуляризуючої змінної, що в остаточному вигляді дозволяє забезпечити більш точне задання граничних умов для рівнянь примежового шару.
У підрозділі 2.1.4 викладено застосований спосіб апроксимації циркуляції на поверхні. Сутність цього способу полягає в застосуванні поліноміальних многочленів для подання стрибка потенціалу, розрахованого в контрольних точках поверхні, у вигляді неперервних функцій, які дозволять одержати неперервний розподіл параметрів, що розраховуються на поверхні тіла. Це дає можливість перейти до аналітичного зображення дискретного рішення, що дозволяє із задовільною точністю розраховувати характеристики примежового шару і навантаження на несучих поверхнях при обтіканні елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
У підрозділі 2.1.5 наведено рівняння для розрахунку коефіцієнтів аеродинамічного навантаження з використанням функції, яка апроксимує стрибок потенціалу.
У підрозділі 2.1.6 викладено застосований спосіб побудови траєкторій частинок рідини, які рухаються у просторі. Сутність його полягає в урахуванні нормального та тангенціального прискорень при розрахунку переміщень. Таким чином, траєкторія руху вихору за дискретну міру часу апроксимується дугою кола. Перевагою цього способу є те, що, він позбавлений “викидів” в переміщенні при довільних співвідношеннях між параметрами розрахунку (циркуляції вихору, від якого розраховується переміщення, відстані точки до вихору, величини кроку за часом). Проведені дослідження показують, що такий спосіб є доцільним при розгляді початкових етапів розвитку нестаціонарних течій. В подальшому при розрахунку прискорення вихору рекомендується не враховувати вплив вихорів, які знаходяться від нього на відстані, більшій за два характерних розміра. Використаний спосіб побудови траєкторій частинок рідини, що рухаються в просторі, дозволяє моделювати складну вихрову структуру течії та враховувати взаємодію вихрового сліду при обтіканні елементів літальних апаратів у широкому діапазоні кутів атаки.
У підрозділі 2.2 подано основні положення методу розрахунку параметрів примежового шару. Течія в’язкої рідини моделюється на основі теорії примежового шару. Розрахунок параметрів примежового шару дозволяє розрахувати коефіцієнт тертя і визначити місце відриву примежового шару.
У підрозділі 2.2.1 викладено систему рівнянь, основні співвідношення примежового шару. Для розрахунку примежового шару замість числового інтегрування рівнянь Прандтля характеристики примежового шару розраховуються інтегральним методом.
У підрозділі 2.2. сформульовано початкові та граничні умови примежового шару, необхідні для розрахунку характеристик в’язкої течії.
У підрозділі 2.2.3 викладено інтегральний метод розрахунку характеристик ламінарного примежового шару. Профілі швидкості ламінарного примежового шару розраховують за допомогою поліномів, запропонованих Польгаузеном
 ,  ,  ,
де  - швидкість на межі примежового шару, - товщина примежового шару.
Критерієм відриву ламінарного примежового шару є форм-параметр Λ. Прийнято, що відрив настає при значенні форм-параметра Λ=-12.
У підрозділі 2.2.4 описано спосіб розрахунку перехідної області примежового шару. Використовується теорія переходу Шліхтинга.
У підрозділі 2.2.5 викладено інтегральний метод розрахунку характеристик турбулентного примежового шару. Турбулентний примежовий шар розраховувався за допомогою інтегрального методу Хеда. Для нестисливої рідини використовувалися рівняння імпульсів, а також формула Людвіга-Тільмана
| 
