Электронная библиотека Веда
Цели библиотеки
Скачать бесплатно
Доставка литературы
Доставка диссертаций
Размещение литературы
Контактные данные
Я ищу:
Библиотечный каталог российских и украинских диссертаций

Вы находитесь:
Дисертаційні роботи України
Фізико-математичні науки
Обчислювальна математика

Диссертационная работа:

Рябічев В'ячеслав Львович. Точність наближених методів розв'язування абстрактної задачі Коші : Дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.01.07 / НАН України; Інститут математики. — К., 2006. — 158арк. — Бібліогр.: арк. 151-157.

смотреть введение
Введение к работе:

Актуальність теми. Математичними моделями багатьох процесів і явищ, досліджуваних природничими та суспільними науками, є диференціальні, інтегральні та інтегро-диференціальні рівняння з початковими або початково-крайовими умовами. Для дослідження і точного або наближеного розв’язування таких задач можливі різні підходи, які не завжди однаково зручні для їх числової реалізації. Разом з тим відомі початково-крайові задачі для рівнянь математичної фізики допускають абстрактні операторно-диференціальні постановки, наприклад, у формі задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь першого і другого порядків у банаховім просторі з необмеженими операторними коефіцієнтами. Тож актуальною проблемою теорії та застосувань обчислювальних методів є побудова ефективних алгоритмів дискретизації абстрактної задачі Коші.

Одним із наближених методів для розв’язування еволюційних рівнянь є скінченнорізницевий метод, збіжність якого вперше дослідив П. Лакс (1958). Виходячи з критики теореми П. Лакса, Х. Троттер (1958) побудував власну теорію і довів теорему про апроксимацію операторної експоненти. Окремі недоліки теорії Лакса усунуто також у працях Л. Якут. Абстрактну схему для методу скінченних різниць запропонував М. Гудович, провівши детальне дослідження зв’язків між стійкістю, збіжністю й апроксимацією.

У працях А. Бабіна, М. Горбачука, В. Городецького (1984) побудовано поліноміально-операторні наближення напівгрупи , збіжні до неї на аналітичних векторах оператора . Експоненціально збіжні наближення розв’язків рівняння за допомогою операторних поліномів знайдені О. Кашпіровським і Ю. Митником (1998), причому оцінка точності методу (2002) автоматично залежить від гладкості початкового вектора.

Ще один підхід до розв’язування задачі Коші для однорідного параболічного рівняння із самоспряженим додатно визначеним оператором розроблений у працях D. Sheen., L. H. Sloan, V. Thome (1999, 2003), де для наближення інтеграла, що зображує точний розв’язок, використано складені квадратурні формули трапецій і Симпсона.

Підхід, що базується на методах Рунге–Кутти, розвивають Alonso-Mallo I., M. P. Calvo, Palencia C. (2003). І хоч швидкістю збіжності він поступається щойно згаданим методам, та його перевагою є застосовність до нелінійних задач.

У працях І. Гаврилюка і В. Макарова запропоновано й розвинуто техніку, відому як метод перетворення Келі, основними рисами якої є: декомпозиція еволюційної задачі на послідовність стаціонарних задач (виключається, таким чином, часова змінна ), автоматична залежність швидкості збіжності від регулярності точного розв’язку (а відтак ідеться про методи без насичення точності), можливість одержати наближений розв’язок в аналітичній формі засобами комп’ютерної математики тощо. Такі апроксимації операторних експоненти (1994, 1996) і косинуса (1999) є поліноміально збіжними як у гільбертовім просторі при самоспряжених додатно визначених операторах, так і в банаховім просторі, якщо оператори рівнянь задовольняють певні обмеження на спектр і розольвенту.

Перелік праць, очевидно, можна було б продовжити. Проте вже сказане свідчить про інтерес до вивчення дискретизацій абстрактної задачі Коші для рівнянь першого і другого порядків зі сталими необмеженими операторними коефіцієнтами. Разом з тим питання непокращуваності одержаних у згаданих працях оцінок авторами цих робіт не вивчалось.

Значно менше публікацій (М. Крейн, J. A. Goldstein, H. Fujita, N. Saito, T. Suzuki та ін.) присвячено наближенню розв’язків рівняння . Більшість із них будують за допомогою методів типу Рунге–Кутти, перенесених на абстрактний випадок, як, наприклад, у працях C. Gonzlez і C. Palencia. Тому актуальними є нові підходи до апроксимації задачі Коші для рівняння зі змінним необмеженим оператором, які б, зокрема, мали довільний порядок точності, дозволяли апостеріорно оцінювати похибку, допускали розпаралелювання обчислень тощо.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась відповідно до загального плану досліджень відділу обчислювальної математики Інституту математики НАН України в рамках науково-дослідницьких тем “Чисельно-аналітичні методи розв’язування диференціальних рівнянь з необмеженим операторним коефіцієнтом та обробка інформаційних даних” (№ державного замовлення 0101U000371, 2001–2005 рр.) і “Методи теорії наближень та чисельні методи для дослідження та керування нелінійними фізичними процесами в реальних неоднорідних середовищах” (№ державного замовлення 0105U000773, 2004–2005 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є одержання нових інтегральних оцінок точності методу перетворення Келі для наближення операторних експоненти і косинуса та доведення їх непокращуваності (або майже непокращуваності) за порядком.

У дисертації також поставлено за мету побудувати новий метод дискретизації задачі Коші для неоднорідного рівняння першого порядку зі змінним оператором у банаховім просторі, вивести оцінки його швидкості збіжності та вказати підхід до числової реалізації алгоритму.

Для цього в дисертаційній роботі використано методи теорії диференціальних рівнянь у банаховім і гільбертовім просторах, результати теорії напівгруп обмежених операторів, елементи операторного числення для необмежених операторів, загальні положення числових методів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи, які визначають її наукову новизну і виносяться на захист, такі:

  1. Одержано нову інтегральну оцінку швидкості збіжності методу перетворення Келі наближеного розв’язування задачі Коші для рівняння першого порядку в гільбертовім просторі у випадку скінченної гладкості початкового вектора та встановлено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком.

  2. Показано, що метод перетворення Келі для цієї ж задачі при початковому векторі з простору Рум’є експоненціально збіжний, а оцінка його точності непокращувана за порядком.

  3. Знайдено нові інтегральні оцінки з ваговою функцією, які враховують початковий ефект у тій самій задачі при початковому векторі скінченної гладкості, а також у випадку його аналітичності.

  4. Одержано нову поліноміальну оцінку похибки методу перетворення Келі для наближення операторного косинуса в гільбертовім просторі при початковому векторі з області визначення степеня оператора та доведено її майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком.

  5. Знайдено нову оцінку експоненціальної швидкості збіжності методу перетворення Келі та встановлено її непокращуваність за порядком для цієї ж задачі, якщо початковий вектор є елементом простору Рум’є.

  6. Побудовано новий метод дискретизації задачі Коші для лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом та доведено апріорні оцінки його точності у випадку сильно позитивного оператора в банаховім просторі або самоспряженого додатно визначеного оператора в гільбертовім просторі за умови незалежності від їх області визначення.

  7. Сформульовано і доведено достатні умови сильної стійкості розв’язків задачі Коші для еволюційного рівняння без вимоги комутативності вихідного і збуреного операторів. Розроблено реалізацію методу за умови поліноміальних наближень оператора і правої частини рівняння.

Практичне значення одержаних результатів. Теоретична цінність результатів дисертації полягає у можливості поширити їх на нові типи рівнянь і задач та включити окремі їх положення у програми спецкурсів для класичних університетів. Одержані в дисертації результати мають і практичну цінність, оскільки можуть бути використані при розв’язуванні конкретних початково-крайових задач для параболічних і гіперболічних рівнянь математичної фізики, які допускають абстрактні операторно-диференціальні постановки.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, одержані автором дисертації особисто. У спільних працях співавторам належить постановка проблем і задач та участь в обговоренні ідей і підходів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на семінарах відділу обчислювальної математики і відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України; на міжнародній конференції “П’яті Боголюбовські читання”, присвяченій пам’яті професора Д. І. Мартинюка (22–24 травня 2002 р., м. Кам’янець-Подільський, Україна); на Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (23–25 вересня 2003 р., м. Львів, Україна).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 7 працях, із них: у фахових наукових журналах –– 3, у збірнику наукових праць –– 1, у збірниках тез доповідей –– 3.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який налічує 95 назв. У дисертації є одна таблиця, що займає менше однієї сторінки, й один додаток обсягом 1 сторінка. Обсяг дисертації становить 158 сторінок машинопису.

Подобные работы
Уханьов Олег Леонідович
FD-метод для задач Штурма-Ліувілля. Експоненційна швидкість збіжності
Приказчиков Виктор Георгиевич
Метод сеток в задачах на собственные значения
Вербіцький Віктор Васильович
Змішаний метод скінченних елементів у задачах на власні значення пологих оболонок
Вербицкий Виктор Васильевич
Смешанный метод конечных элементов в задачах на собственные значения пологих оболочек
Переймибіда Андрій Андрійович
Чисельне розв"язування крайових задач для телеграфного рівняння методом потенціалів
Масловская Лариса Викторовна
Смешанный метод конечных элементов в задачах деформации оболочек
Подлевський Богдан Михайлович
Числові методи розв'язування узагальнених спектральних задач для поліноміальних пучків самоспряжених операторів
Майко Наталія Валентинівна
Точність дискретних аналогів спектральних задач для деяких еліптичних операторів
Калина Олена Анатоліївна
Дослідження та розробка інструментальних засобів інтерактивного розв'язування інженерних і наукових задач методами комп'ютерної алгебри
Постельняк Николай Григорьевич
Исследование и решение нестационарных пространственных краевых задач методом инициирующих решений

© Научная электронная библиотека «Веда», 2003-2013.
info@lib.ua-ru.net